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數字的意義

  儘管有很多人認為「數字」是「專家們才使用的東西。」但是有些時候,我反倒覺得「數字」這個東西,是「專家」到「非專家」之間不可或缺的交通工具。說得更明顯地一些,也就是專家們把一些觀察所得的現象,在無法以言語表達的情況下,邊出一些簡單的符號,例如A、B、C......或1、2、3之類,告訴非專家們,這是A,那是B或者他有35瓦的輸出電力等等。

  雖然,數字的用途不止於此,但被用於「告訴外行」之例卻不勝枚舉。其中最大的一個例證就是數字式電子計算機的發明,基本上就是為了解決外行人也能使用電腦的困難。

  當然專家們也使用數字,不過專家們所用的數字,通常是一群而不是單一的。就基本「量觀」而言,一群數字,已非單純的數字,它代表一種概念(譬如響應曲線),而這種概念,無法以簡單的語言向外行人訴說,所以才「抽樣」的選出一組或兩組(應該是無窮多組)數字,告訴外行人說20~20.000±3dB天知道此±3dB是在30?5.000?還是10.000?究竟是正還是負。

  所以,在閱讀本文之前,希望你確立一種觀念:數字如同語言一樣,是人類思想的交通工具,絕不是專家的「玩意兒」。更非專家們存心想耍的魔術。

量與尺度

  純粹的數字,或稱之為不名數(abstract),意義極其抽象,因此數之後,必須附上單位或說明,才有比較具體的意義。比方說「18」究竟是指芳齡十八呢?還是18歐姆,18公斤,18公里,誰也不知道。毆姆、公斤、公里......就是單位。單位有絕對單位、實用單位、比較單位......之分,雖然不管什麼性質的單位,都是依據一定的「尺度」(Scale)而來。但所有數字不一定都要標示單位,有時僅標示「尺度」亦未嘗不可,分貝(dB)即其一例。

  那麼什麼是單位?什麼又是尺度呢?1元2元1瓦2瓦的元和瓦就是單位,年息1.5%或12dB的%和dB就是尺度,一種尺度可以用來衡量許多不同單位的量,因為年息1.5%可以是美金,也可以是法郎更可以是新台幣,dB也可以是瓦特數,是聲壓或是電壓數,而且經由尺度的量度可以確定一個單位的數和另一個數間的關係。

  以上所說的都是「玄話」,下面我們舉個更簡單的例子:

  假如有人問我台北到高雄究竟有多遠?我就要考慮到他究竟叫我用什麼「尺度」來答覆他。因為表示由台北到高雄間的距離,可以想到的至少有以下四種尺度,而四種尺度又各有不同的量:

鐵軌的長度:376公里(常溫之下)

莒光號行程:7小時(不誤點的時候)

華航票價:705元(可能還可以打點折扣)

阿公阿婆們:一個晚上(天黑乘車,天亮就到了)

  論精確,當然是招待阿公阿婆遊台北時告訴他(她):「天亮就到了!」最不精確,但對他(她)們卻最實用,既實用,意義就明確。dB就是一種尺度,不是頂精確的,卻是頂實用的,和人的感覺頂能配合的尺度,她能表示多種不同的量─瓦特、伏特、音量...正如同「一個晚上」可以表示距離、工作的難易、病痛的嚴重程度......等等。

1分貝增減26%

  翻開「辭書」,它會告訴你:

  「分貝就是貝(Bel)的十分之ㄧ,寫成Deci Bel......

  dB=10 log P1/P2

  ...表示二功率之比...」

  如果你不懂對數,那麼,只好乾瞪眼了。但是在此,我奉勸你,千萬別就此困難而退,因為dB也好,log也好,都是機器的事,用不到您傷腦筋。過去我們學老數學,是用人在做機器該做的事,今天我們講新數學,是要把機器能做的事,交給機器去做,我們只要知道怎樣敎機器做,和知道機器究竟做了些什麼就行了。

  用最簡單的話來說,1dB就是26%的變化量。或者乾脆說它月息26%好了。存進100元一個月本息有126元,存進1.000元一個月本息1.260元,這完完全全就是dB的概念。1瓦增加1dB是1.26瓦,10瓦增加1dB是12.6瓦。所以日本人把「增益」(Gain)一詞說成「利得」真是恰當極了。

  現在,請您打開手邊的小電算機,算算看月息1.26%,存進10.000元,幾個月才能變成100.000元?當然要「本金生利息,利息當本金」才可以。

1.26 x 10.000

=12.600元   一個月

=15.876元   二個月

=20.003元   三個月

=25.204元   四個月

=31.757元   五個月

=40.015元   六個月

=50.418元   七個月

=63.627元   八個月

=80.045元   九個月

=100.085元   十個月

  得了,十個月下來,本金已變為十倍還有零頭。這就是什麼?就是對數:按一定的比例增加,增加十次之後,正好等於原數的十倍。至於零頭,那是誤差,實際上利率應該是0.2589%。

  假如您手頭上的電算機,並且可以算log的話,你還可以設法算出下面這一題:

  存進10.000元,月息1.26%,究竟幾個月才能提出來買一套50.000元的音響?

  於是您打了:

  50.000 ÷ 10.000=5(F)

  log

  =0.69897

  怎麼?只要半個多月?不是的,以上我們所說的「對數」只是「簡而言之」的概念。還要把對數值乗10才對:

  0.69897 x 10 =6.9897

  原來是7個月一到天未亮,10.000元就變成50.000元了,真妙,忍著些罷!

  朋友,這就是分貝的演算法。現在我們將它納入正題,請看下面這張表:

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  這和存款生利的情形是不是一樣呢?對了!於是我們可以更加深一點印象:「瓦」一如「元」一樣,是用來表示一定的量,分貝和存款的月數,則表示一定的「增量」。

  或者有人會問,為什要用這種增量表示法呢?問題可以這樣解釋:

  存進10.000元,每月領取2.500元利息,十個月後,本金一共就有10.000+2.500元x10=35.000元,但是如果你不提息呢?這樣的算法就有欠公平了。

  擴大機的輸出由一瓦增加到二瓦,那增加的一瓦,你並未把它拿出來,而是併同原先的一瓦成為二瓦變成您聽覺的印象,如果要再增加時,就要增加二瓦成為四瓦,您才會覺得增加得差不多。因此,分貝的增量,我們又可以稱他做儲存或累計的比例增量。

為什麼要用dBW?

  那麼為什麼擴大機的輸出電力有人建議用dBW來表示呢?

  道理非常簡單,因為現在的擴大機輸出愈做愈大,以前要裝個25瓦的,實在不簡單;現在,1.000瓦一點也不稀奇。1.000瓦?乖乖好大的數字,可是當你實際買回家接上喇叭一聽,卻沒有大多少?怎麼回事呢?這就是感覺的問題。當你手上有100元時,再給您100元,這100元和您手上已有10.000元時再給您10.000元的感覺是一樣的。因此光看數字會覺得它「很多」,實際感覺卻「不過如此」。

  為什麼使用dBW?因為有人使用125瓦的擴大機,感覺到音量不夠大,於是多花一倍的錢去買250瓦的機器,滿以為音量至少該大一倍了吧!沒有想到還是差不了多少。因此,假如您不要去相信瓦,而相信我告訴您的另外一組數目:

  原先您用的是21dBW,多花一倍錢所買到的是24dBW,就算您對dBW毫無概念,由21→24的變化量比起由125瓦→250瓦,至少是比較接近您的感覺事實的。

  當然,有人會覺得「瓦」不是已經很明確的單位嗎?100瓦就是100瓦,1.000瓦就是1.000瓦,一點也唬不了人,為什麼要弄出dBW這樣煩人的東西,而且一張瓦數→dBW對照表,不過是簡化的對照表而已,似乎一點意義也沒有!

  對的!可是我們不得不回看前面一段我們曾經提到過的問題:數字的功能應當包括由專家到非專家的意念交通。我們並曾舉了計算由台北到高雄之間距離的幾種尺度的例子。

  那麼,瓦特是什麼?那是鐵路局人員所說的公里或公尺。dBW是什麼?是票價,是睡一覺就到了...等等屬於旅客感覺的概念。盡管大家都知道公里或公尺代表什麼!但是坐火車誰也不問有幾公里,問的是多少時間?多少票價,以時間和票價來代表距離。

  什麼時候需要用到公里?只有自己開車的時候,因為知道多少公里,您便可以算出時速70公里時,多少時間可以到達?中間要加幾次油。

  所以,重要的還是時間,和花費,不是公里。也所以有人提倡使用dBW。

dBm和dBf 又是什麼?

  讓我們再重覆一次,假如您不懂瓦(別以為瓦很容易懂),也不懂dBW,那麼dBW的數字對您是比較切合實際的。您不會在24dBW上受騙(儘管人家不是有意騙您)。

  那麼dBm和dBf又是什麼呢?說到這個,我們要從所謂「附加單位」說起:就舉長度為例子罷:我們都知道1公尺等於10公寸等於100公分等於1.000公厘,可是我們想計量的長度非常非常小或非常非常大,怎麼辦呢?當然,我們可以寫成2 x 10¯¹6 公厘,或者6.28 x 10¹6 公里,這樣究竟不是很方便的。於是在科技的運用上,就有所謂附加單位,它用一定的符號,代表了一定的量,例如35K毆姆是表示35.000毆姆,10PF表示0.00000000001F,以下就是這些符號,以及它們的意義。

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  從上表中,您可以看到有一些不常見但偶爾會見到的附加單位,如 n, nf 是表示 1000PF nS表示1/1000uS等等。

  dBf 的 f 是代表 fW 的, m 則代表 mW,當然一下子把量縮得這樣小,您會很不習慣,正如修慣汽車的人,驟然敎他修手錶,當然會笨手笨腳的。現在,您可以不考慮怎樣去做,只要把它放大了來看便行。

  那麼 dBm 和 dBf 究竟有多大呢?因為有了dB,所以非常好算,那就是

60 dBm = 0 dBW

150 dBf = 0 dBW

或者我們也可以反過來寫:

0 dBm = -60 dBW

0 dBf = -150 dBW

  要提醒您注意的是 0 dB 不是代表沒有,而是代表「基準」也就是「從這兒量起」的意思,而上面的情況正是「對我來說你比我多60dB,對你來說,我比你少60dB。」至於後面的m或w,就代表你或我的意思。

  dBm通常被用於聲頻信號器材或傳輸系統的量度,比如唱頭或麥克風我們可以說它有多少dBm的輸出(實際的演算於此就從略了);而dBf 則用在表示接收機靈敏度或天線信號強度的表示。

  雖然,訊號強度最正確的表示方法還是「伏特 x 特性阻抗」,比方ABC牌的調諧器,75毆姆輸入的靈敏度為2uV,測試時,必以75毆姆和2uV為依據,可是對外行人來說呢?那就要傻眼了,因為另外一部調諧器的輸入靈敏度為300毆姆8uV,他無從辨別究竟哪一部的靈敏度高。

  用 dBf 來表示就沒有這個毛病了。換句話說,如果您對歐姆,uV或 dBm、dBf全然不懂光看 dBm 或 dBf 的數字和 dBW一樣,還不易誤人誤事的。

dB的其他運用和運算

  雖然如此,我們仍然必須有一個確認,那就是如果彼此都是內行人,尤其都是設計工程師時,dB尺度的運用機會,相對的就少了,頂多用來概估電路的增益和衰減量,而真正設計電路時,仍宜以電壓、電流、阻抗或倍數來計算,要不然同樣是20dB的增益,前級和後級就相差太遠了。

  雖然,您可以根本不用dB,而把一部複雜的擴大機設計出來,可是您仍然得知道dB,尤其要知道dB的算法,免得您向外行人介紹您這部複雜的擴大機時,又是阻抗又是電壓放大、電流放大的,半天說不清楚。而外行人說他那部XX名牌擴大機有80dB的S/N比,也使您搞不清楚80dB究竟有多大?

  其實dB的算法是非常簡單的,用不到查對數表,也用不到10 log P1/P2的公式。以下幾個原則,請您記住便是:

●每一個1.26倍就是1分貝,10倍正好有10個1.26倍,因此10倍是10分貝。

舉例一:8倍是多少分貝?

解:最笨的方法就是連除法:8÷1.26÷1.26÷1.26÷1.26÷1.26÷1.26÷1.26÷1.26÷1.26=1

一共除了9次1.26所以8倍是9分貝。

舉例二:86倍是多少分貝?

解:要用一點技巧了,因為86是8.6的十倍所以我們先「提」出10分貝使86變成8.6,亦即

86/8.6=10 dB

  第二才算由8.6到1有多少分貝,如果您有log的計算機,當然可以算出8.6到1有9.344分貝,如果沒有就用例一的笨方法,連除1.26,一直除到得數等於1,當然8.6連除到第九次時,會剩下1點零幾的小數,你可以把它略去,反正dB不是精確用途的。

  最後10dB+9dB=19dB

  這不是非常簡單的事嗎?

舉例三:24dB到底有幾倍?

解:反過來先把24減掉20dB,因為20dB正好等於100倍(20個1.26倍)。

100倍 x 1.26 x 1.26 x 1.26 x 1.26=252倍

●上面所指的「倍」是電力「瓦」的倍,如果只是電壓或電流的倍,則1dB只有1.123倍(1.26 =1.123),因為電力是電壓或電流的平方因數,因此10倍是20分貝。

舉例四:一部最大輸出為2V的前級,測得殘餘雜音為1mV,求其SN比

解:2V/0.001V=2000倍

  2000÷10÷10÷10=2

  因為連除了三個10所以有三個20分貝即60分貝

  2÷1.123÷1.123÷1.123÷1.123÷1.123÷1.123÷1.123=1

  一共除了6個1.123所以是6分貝,

  60分貝+6分貝=66分貝

  分貝就是這樣簡單,多算幾次,彎彎指頭也可以算出來了。可是分貝除了以上所說的有了基準的dBW dBm dBf之外,可以用在哪裡呢?如果不是很嚴肅的說,可以用到一切「倍數很大的比較上」而比較確切的是用在一切可以建立對等關係的量度中。

  什麼是對等關係:舉例來說,1瓦的電力可使某喇叭有86dB的音壓,因為2W/1W=3dB。

  換句話說,你可以從這個量變,直接推算到另一個量變,當然,這中間必須有線性的關係存在。

  朋友,您對dB還有所不解嗎?歡迎來信討論。

轉載音響技術第20期AUG 1977 淺談dB dBW dBm和dBf/陶宛

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