答案
圖1:本圖中A、B兩點併聯著電阻如果是一枚就1歐姆,2枚就是½歐姆,3枚就是⅓歐姆,N枚就是1/N歐姆。但A、B點實際併聯的電阻是無限個,所以阻值應該是1/∞歐姆,因此正確答案是0歐姆!電表顯示數字是0.00000歐姆。
圖2:比圖一多了串聯電阻,因此計算起來就要大費周章,並且它還包含有許多關鍵性的概念,因此我們也詳細討論之。本題的解答可以從兩個方面考慮但是最重要的還是其「基本電路」因為不論你從頭推算,或是由後往前算,都要用到它。
A即是圖2的基本電路,其等價電阻Req 1 為2歐姆,這就是解答本題的關鍵所在。經由它,我們可以將一個網路中的四枚電阻簡化成三枚電阻,然後再將它簡化成二枚電阻,最後再簡化成一個,於是答案就出來了!真是這樣嗎?天知道!反正我們解解看。
B是將8個電阻化成3個電阻,我們由上往下看:這是由後往前計算,B1最後兩枚電阻呈串聯狀態,故阻值為2歐姆,可化成如B2。但B2的最後兩枚電阻却呈併聯狀態,故阻值為0.6666......歐姆,這是B電阻與C電阻的併聯值。可是它又與A電阻串聯,故其電阻值變成B//C+A=0.66...+1=1.666......歐姆,於是就成為圖B3。如果我們再將圖B3的最後三枚電阻設為A、B、C,故其阻值即是B//C+A=(1/B)+(1/C)+A=1.625歐姆,見B4。有了以上的概念我們看C圖,並計算的說明解答的方法:
我們都已知道Req 1=2歐姆,在D的電路裡,Req 2=1+(1×2)/(1+2)=1+⅔=5/3歐姆(即1.666......歐姆)。現在將這個結果代入E中於是Req 3=1+(1×5/3)/(1+5/3)=1.625歐姆。
如果再繼續算下去,則Req 4=1.6190476歐姆,Req 5=1.6181818歐姆,Req 6=1.6180555歐姆,Req 7=1.618037歐姆,Req 8=1.618034歐姆,而Req 9亦是1.618034歐姆,並且你會發現Req 10~Req 2000都是1.618034歐姆!換句話說:1.618034歐姆併聯1歐姆再串聯1歐姆永遠是1.618034歐姆!這就是本題的正確答案,但你一定不服氣!
現在再回頭看看,你可以發現Req 1的值接近Req 2的值,而Req 2的值接近Req 3,Req 3接近Req 4,而Req 9等於Req 10,因此這裡要告訴你一個非常重要的觀念:如果在無限排列的電阻線路裡,即使我們再增加2枚、3枚或更多的電阻,都不會改變整個網路的等價電阻值。
解答本題的另一個方法就是使用代數公式,見圖F,Req=1+(1×Req)/(1+Req),或者Req+Req²=1+Req+Req,於是就求出一個結論:Req²-Req-1=0。要解出Req使用聯立方程式即可,在代數式中有這麼一條公式:ax²+bx+C=0,則根 x=(-b±√b²-4ac)/2a。在上述等式中,Req²-Req-1=0,所以a=1,b=-1,而C亦等於-1。將數值代入公式解出Req=(1±√5)/2=1.618033989及-0.61803。由於有兩個根出現,一是主根一是虛根,但電阻沒有呈負值的,故-0.61803歐姆不是答案,而1.618033989(1.61803)歐姆即是本題正確的答案了。
圖 3: 答案是0.62500歐姆。提示:只考慮第一組網路。
圖 4: 0.00000歐姆。它的基本結構和圖1一樣。
圖 5: 1.0000歐姆。很簡單,但也很唬人,說不定很多人都答錯了。
圖 6: 2.7320歐姆。提示:它的解法與圖2一樣。
圖 7: 0.61803歐姆。解法同圖2。
圖 8: 050000歐姆。而且妙的是:在這網路中的某些電阻不論數值如何變化,答案卻是永不改變。
圖 9: 0.57735歐姆。解法同圖2。
圖10: 2.2078歐姆。當你以10a做提示後,本題的解法即同圖2。
轉載音響技術第79期JULY. 1982 你能將它們解出來嗎?/楊聯琦(本文取材自Popular Elec. 1981年10月號)
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