空間音響學之發軔-沙賓回響方程式及其演進－老音響資料庫/蘇桑部落格

　　在1895年哈佛大學發現該校新建的福格藝術博物館產生嚴重的音響毛病。該校校長艾利奧(Eliot)即向一名叫華理士˙克理門˙沙賓(Wallace Clement Sabine)的青年物理教授要求對此問題「動點腦筋」。

　　沙賓並不遵照古法懸掛帘布,佈置地氈等等方法來將此一「活生生」的房間歸於「死寂」。相反地,他拋棄以「質」的方法尋求答案而代以「量」的基礎研究此一問題。

　　沙賓當時掌握了幾項對此問題研究的有利工具。第一、福格博物館的「問題」演講室;第二、在附近有一家被公認具有優越音響的桑德斯劇院(Saunders Theater);第三、傑佛遜物理實驗所(Jefferson Physics Laboratory)地下室的恆溫室居然成為一間回響室。最後,在傑佛遜物理實驗所內有一間音響不太差也不太好,尚可容忍的寬大演講室。

　　利用這些環境來當實驗室,沙賓使用桑德斯劇院的座墊當做手提吸音材料,風琴管和手提風箱當作音源,一隻跑錶和他的出色聽覺能力就成為他的音響測試儀器。

　　經過二年多的努力研究(他時常白天教學,然後徹夜研究,一天只睡幾小時),沙賓不但以適量的音響吸音材料而糾正這間有「問題」的演講室,而且他為建築音響科學在首次重要突破收集了原始資料。

音響學進入新里程

　　在1898年10月29日星期六晚上,沙賓眼睛一面注視著一些曲線表,一面對著他母親大叫(當時他母親和他住一起)『媽,是雙曲線！』這個簡單但啟蒙的觀察把建築音響學從嚐試錯誤的黑暗時期帶進計算和測量的開端。

　　沙賓揭開房間大小和吸音量之間基本關係的洞悉力是他令人難以相信的精確測量和他直覺天才之結果。從此以後一個房間的回響時間在建造之前都能加以計算。

　　經過77年之後的1975年9月,喬伊士(W.B.Joyce)在美國音響協會會報(Journal of the Acoustical Society of America)的一篇題目叫「沙賓的回響時間和俄哥帝聽堂」(Sabine's Reverberation time and Ergotic Auditoriums)的文章裡閳述了熱力學第二定律和沙賓方程式之間的關係。這位才華洋溢的貝爾實驗所(Bell Laboratories)科學家從文件研究導出沙賓方程式。這些文件若要在沙賓時代完成也是可能的,因為在1895年必要的熱力學觀念已經存在了。

史德特的分析

　　在1929年,史德特(M.J.O.Strutt)認為回響仍是房間內空氣量的自由壓制振動(請注意這是在電腦出現之前),這項分析包含在適當限制下的一般波長方程式。史德特認為討論分離聲波的理論難令人滿意。房間內氣柱的各種回響振動模式都在此項分析內出現。在分析中也揭示了具有永不相遇漸近線性質的沙賓定律。當聲音頻率和最低的空氣本身自由頻率相比較而變成無窮大時──換句話說,當房間空間度和聲音波長比較而變成無限大時,回響就有趨向漸近線之性質。

　　爾後在麻省理工學院,菲力浦˙模斯(Philip Morse)和理查˙波爾(Richard Bolt)的研究導致誠實而有趣的結論,『聲波音響學所擔任的實際角色就是它能指出如何設計一個幾何音響學和統計音響學都站得住腳的空間範圍,並且在此空間範圍內不需要聲波音響學。』

　　在任何限定範圍空間裡,不管是人們居住的房間或安置喇叭的音箱,總存有一段限定時間,在此時間內,一旦音源關掉,由音源所形成的穩定音場就會消失。我們大家都有過在鋼筋建築物,如地下停車場,拍手後聽到那種聲音延長時間和在空野拍手聲的比較。

　　在初期聲音(如拍手聲)到消失這段時期所聽到的聲音叫做回響。回響時間就是回響能被聽到的這段時間(以秒為單位)。在精確的測量時,回響時間是以至少低落20dB到外推至低落到60dB所需時間。這段以秒為單位的時間稱為RT60。

　　圖一表示典型的測試架構。由喇叭所發出的粉紅雜音(以八音度或1/3八音度為代表)直到在空間範圍內產生一穩定強度位準(也就是所發出音響功率速率以相同速率被吸收),然後放大器輸出開關關掉,而麥克風信號饋入和發送濾波器相同的另一組通頻濾波器,最後低落速率能由顯示器才觀察出來(顯示器材可能是數字儀表,圖示記錄器或示波器CRT),如何使用圖示紀錄器,圖二顯示分析所產生波形的方法。

能量不滅定律
　　能量不滅的基本定律是：「能量能夠轉換,但決不能產生或消滅」,因此,在一房間內回響能量增加的速率(WaR↑)必須等於音源發出能量到回響音場(WaR↑)的速率減掉回響能量的吸音速率(Sa↓)。

　　WaT↑-Sa↓=WaR↑

　　這意思就是音源向空間範圍所發出的所有能量都必須以吸收(變成熱量),以傳輸(經過空間範圍到另外一度空間),或以反射(增加聲音位準)計算在內。

由聲源所發出的聲音位準

　　只要看一看聲音功率計算方法,我們就知道假如有一個半徑0.282M假想球體的中心點安置一個能發出一聲瓦(Acoustic Watt)微乎其微的無方向性聲源,則我們能依國際規定的定義寫出：

　　此處的dBwa就是以dB(對一個Pico Watt,一個Pico瓦等於1×10¯¹²瓦)表示的音響功率。

　　假如我們將此情況仔細研究,我們會發現對於一個半徑0.282M的球體來說,表面積是1M²(4πr²=A),因此我們的音響強度是1W/M²。

　　強度若用dB表示,我們就寫出：

　　因為dBp也有一個國際規定標準值(0.00002巴斯卡或20μPA)音壓就成為:

　　這是一種音響歐姆定律的形式。

　　此式的Ｗa是以瓦特為單位的音響功率;

　　Pc是以Rayls(N-Sec/M²)為單位的音響阻抗,當T=22℃(71.6℉),大氣壓=29.6英吋Hg'或0.75/M Hg'時,Pc是406MKS Payls。

　　P是以Kg'/M³為單位的空氣密度。C是以M/Sec為單位的聲音速度。

　　4πr²=球體表面面積,並當作一種音響功率因素。

　　總括這些計算,我們能以一聲瓦(向各方擴散並量得0.282M)成立下列關係:

　　圖三的內面球體代表這些數值。

　　現在讓我們僅僅改變一個參數,那就是將球體半徑加一倍,首先由觀察就可得知當半徑加一倍時,球體表面面積就成四倍,因為在面積公式裡的半徑被平方,因此表面面積就成為四平方公尺,這就表示雖然總共增加4個面積而總功率仍然1聲瓦,但每一平方公尺只有1/4瓦

　　因此,音響強度和聲壓已從120dB下降到:

　　120+(-6.02)=113.98dB

　　然而聲音功率仍然120dB,而音響功率=1W=120dB,音響強度=1/4 W/M²=113.98dB,音響聲壓=10.08PA=113.98dB,這種換算叫做基準轉換率倒數平方法則。

　　從這個例子可以看出,如果將真正衰減因素(如吸音)略而不計,聲音基準就會隨離音源距離的平方而遞減,並且最後在一個自由野外空間擴散得聽不到。

　　圖四A表示距離每次加倍的面積變換。這一換算的成立需兩個分歧的角度,(看圖四B),如果只有一角度分歧,則面積變化成直接關係,並且只有-3dB/每加倍成立。(看圖四C)

方向性對資料的影響

　　假如我們再回到原來那個半徑0.282M的球體,這次改變另一參數,由球體改為半球體的表面面積,那麼我們能重寫換算資料如下：

　　音響功率＝1W=120dB,　音響強度=2W/M²=123.01dB,　而音響聲壓=40PA=123.01dB,這樣換算全都因為1聲瓦以0.282M之距離通過0.5M²的表面。

　　這個換算的參數名稱叫Q或方向性因素。

　　以下我們將發出一聲瓦的音源限定(關再)在一個容積V=500.0000立方英呎(14.160立方公尺),四週表面面積S=42.500平方英呎(3948.25平方公尺),而每一表面反射85%能量,吸音15%的限定空間裡,因此,吸音係數是15/100=0.15

　　現在我們有了直接音──已經發出但尚未碰到週邊的聲能和回響聲──已經碰到週邊並經反射回來而且和其他反射一次或多次的聲音相混合。

　　現在,我們在集合資料：音響功率=1W=120dB,音響強度由於多次混合反射變的複雜,而回響音場音壓=1.68PA=98.5dB

　　由圖五可以看出一聲瓦是一強力的位準,現在我們有98.5dB的回響音場,假如我們此刻關掉音源而任由時間降低到98.5-60=38.5dB,則可量出RT60。

沙賓方程式之導論

　　很明顯的,限定範圍內容量愈大,則它在不膨擠週邊情況下愈能容納更多能量(很像大水桶能比小水桶裝更多水一樣)因此,RT和V成正比,從另一觀點看,假如在大的限定範圍開個「窗洞」,能量就會流出,能量流出的速率(RT)和1/â成正比,此處â是「窗洞」的平均吸音量。當聲波傳遞而碰到週邊表面,經過足夠的碰撞後就會產生碰撞之間的中間距離,這項距離稍為中間自由線,M.F.P.可由M.F.P.=

　　M.F.P.的觀念已經由數學和實驗嚴格測試過,假定聲音速度是1130Ft/Sec,則可以說每秒反射數目(R.P.S.)為

　　更進一步說,假定只要求降低60dB,而e(6 In 10)=1.000.000(-60dB是1/1.000.000)則6 In 10(1/â)成為在降低60dB期間的反射總數─N(看圖六)(蘇桑註:原文並無提供圖六)。從直覺上可看出:

　　由沙賓的曲線資料算出沙賓常數是0.049,這是多麼令人興奮的事。

　　在1930年前後,科學家已努力改進沙賓方程式來適應非常高吸音性的特殊情況,並重寫成為諾利斯˙俄林(Norris-Eyring)方程式:

─In(1/â)轉換任何由真正房間測得RT60的â,而â是由

倒進âsab,那就是─In(1-ân˙e˙)=âsab

　　喬伊士的論文很詳細討論到諾利斯˙俄林方程式的不正確,因此我們建議對這方面有興趣的讀者從喬伊士論文下手。

費慈洛方程式

　　費慈洛(Dariel Fitzroy)是一位沉靜、優越的思想家,他在1950年後期認為吸音性不一致的限定範圍內,測量而的的RT60大於計算而得的RT60。他推論可能有三個回響主軸存在──(1)地板──天花板反射,(2)端牆對端牆反射,(3)邊牆對邊牆反射。因此他就寫出用來計算這種情況的方程式：

　　費慈洛方程式在鋪設地氈的地板,音響磚瓦的天花板,和所有其他高度反射性表面等實際情況上證明很有實用性。

　　因為使用這個方程式來預測RT60,所以â用在糾正補救用途時能看作

基於幾何學和統計學的所有音響方程式之限制

　　只要回響方程式是基於統計平均值,一個先決條件就是在房間內的聲音要完全混合。如果在高吸音性的房間,聲音在經幾次反射就消失,因此方程式的統計基礎就減弱。最近我所研究的TDS(Time Delay Spectormetry),在某些旅館的會議室裡沒有產生回響音場,而另外一些會議室則出現RT60＞0.7Sec的音場。

　　我對TDS的研究經驗很明顯告訴我;錄音控制室對於傳統統計方程式的使用並非適當的對象。

　　在非常大的房間裡,像Astrocome和Superdome,因為聲音在數秒鐘的測量回響期間內不能多次橫越房間,因此方程式的正確性就受影響。我希望在不久將來TDS準則對幫助解決這種空間回響問題提出報告。